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Bessel-Punkt

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  für verschiedene Paare von Auflagepunkten; blau: Bessel-Punkte
Die Bessel-Punkte sind die beiden symmetrisch angeordneten Auflagerungspunkte eines Längsträgers, bei denen dieser die geringstmögliche schwerkraftbedingte Verformung erfährt. Die optimalen Bedingungen für diese minimale Verformung können nach unterschiedlichen Kriterien definiert werden. Erstmals berechnet wurden derartige Punkte von Friedrich Wilhelm Bessel im Zusammenhang mit Normierungen von Längenmaßen bei der Definition des preußischen Maßsystems.

Biegelinie

Die Berechnungsgrundlage für die Auflagerpositionen liefert die Balkentheorie 1. Ordnung (schubstarrer Balken gemäß der Bernoullischen Annahmen). Hieraus ergibt sich eine Funktion für die Durchbiegung w(x) des Balkens in Abhängigkeit der Längenkoordinate x – die Biegelinie. Für den relevanten Fall eines gleichmäßig belasteten, symmetrischen Balkens auf zwei Auflagern ergeben sich hierbei 3 Bereiche, welche jeweils mit einer Polynomfunktion vierten Grades beschrieben werden können. In der Klappbox ist die Herleitung der Abschnitte I (0 ≤ x ≤ a) und II (a ≤ x ≤ L – a) dargestellt.
{
-
! colspan="2" Herleitung der Biegelinie in den Abschnitten I und II
-
colspan="2"
w…Krümmung, w'…Steigung, w…Durchbiegung,
x…Längenkoordinate des Balkens, a…Abstand der Auflager zum jeweils nähesten Balkenende, L…Balkenlänge,
M_b…Biegemoment, q_{ges…Streckenlast, E…Elastizitätsmodul, I_y…axiales Flächenträgheitsmoment
-
Bereich I   (0 ≤ x ≤ a)
Bereich II   (a ≤ x ≤ L – a)
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! rowspan="2" Optimierungskriterium
! colspan="2" Erläuterung
-
! a/L-Wert (numerisch)
! Bedingung für Biegelinie und ggfs. exakte Lösung
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! rowspan="3"
Minimale Längenverkürzung (Enden der neutralen Faser)
! colspan="2"
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colspan="2"Friedrich Wilhelm Bessel bestimmte die Position der Auflager für die
geringste Längenverkürzung des Trägers in seiner mittleren Fläche, der neutralen Ebene. Das Längenkriterium war für Bessel wichtig, weil er sich mit der Lagerung von Messstangen beschäftigte, die mit dem Normal des preußischen Längenmaßes verglichen werden sollten.F. W. Bessel: Darstellung der Untersuchungen und Maaßregeln, welche, in 1835 bis 1838, durch die Einheit des Preußischen Längenmaaßes veranlaßt worden sind. Beilage I. Einfluss der Schwere auf die Figur eines, auf zwei Punkten von gleicher Höhe aufliegenden Stabes. Berlin 1839, S. 132 (dig). Wird zur Längenkalibrierung ein horizontales Strichmaß wie z. B. das Urmeter von 1889 (X-förmiger Querschnitt mit Strich-Markierungen auf der neutralen Ebene) verwendet, so kann mit dieser a/L-Konfiguration die größtmögliche Genauigkeit erzielt werden.
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\approx 0{,22031
\left(\int_{0^L(w')^2\,\mathrm dx\right)' = 0
-
! rowspan="3"
Minimale Längenverkürzung (Enden der Randfaser)
! colspan="2"
-
colspan="2" Im gleichen Zusammenhang bestimmte Bessel auch die Lageposition für die
geringste Längenveränderung an der Oberfläche, an der die Skala der Messstange eingraviert ist. Für diesen Fall stehen die Endflächen des Trägers zueinander parallel, d. h. die Winkeländerung der Enden wird ebenfalls minimiert.F. W. Bessel, Berlin 1839, S. 135. Endmaße wie die Urmeter von 1795 und 1799, deren Gesamtlänge als Abstand zwischen ihren Endflächen definiert ist, müssen mit diesem Lagerabstand unterstützt werden. Zu Ehren von George Biddell Airy, der sich ebenfalls mit der Problematik beschäftigte, werden diese Positionen in der Literatur als „Airy-Punkte“ bezeichnet.G. B. Airy: On the Flexure of a uniform Bar supported by a number of equal Pressures applied at equidistant points, and on the Positions proper for the Applications of these Pressures, in order to prevent any sensible Alteration of the Length of the Bar by small Flexure. In: Monthly Notices of the Royal Astronomical Society Vol. VI, No.12, 10. Januar 1845, S. 143–146 (dig).
-
\approx 0{,211325
w'(0) = w'(L-a) = 0 \quad \Rightarrow \, a/L = \tfrac12 - \tfrac1{2\sqrt{3
-
! rowspan="3"
Minimaler Wert des Durchbiegungsmaximums
! colspan="2"
-
colspan="2"Eine
minimale Biegung über die gesamte Trägerlänge wird erreicht, wenn die Durchbiegung in der Mitte und an den Enden des Balkens identisch sind.Gert-Jan Nijsse: Linear motions systems; a modular approach for improved straightness performance. Delft 2001, S. 39f.
-
\approx 0{,223149
w(0) = w(L/2) = w(L)
-
! rowspan="3"
Null-Biegung in der Balkenmitte
! colspan="2"
-
colspan="2"Bei dieser Lagerung nimmt die Durchbiegung in der Balkenmitte den Wert 0 an.
-
\approx 0{,238613
w(L/2) = 0 \quad \Rightarrow \, a/L = \sqrt{\tfrac{152 - \tfrac52
-
! rowspan="3"
Null-Biegung am Balkenende
! colspan="2"
-
colspan="2"Sollen die Balkenenden im Vergleich zum Niveau der Auflagerpunkte nicht durchgebogen sein, gilt diese Lagerung.
-
\approx 0{,214175
w(0) = w(L) = 0
-
! rowspan="3"
Minimale mittlere Durchbiegung
! colspan="2"
-
colspan="2"Die minimale
mittlere Durchbiegung über die gesamte Länge erhält man durch das Kriterium einer minimalen Formänderungsenergie.P. Will: Optimale Lagerung von Balken. Es ergeben sich horizontale Tangenten an den Auflagern (Betragsgleichheit der dort wirkenden Biegemomente).
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\approx 0{,224745
w'(a) = w'(L-a) = 0 \quad \Rightarrow \, a/L = \sqrt{\tfrac32 - 1
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! rowspan="3"
Minimales Biegespannungsmaximum
! colspan="2"
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colspan="2"Für die
geringste maximale Biegespannung des Trägers mit der Streckenlast q_{ges ist das Biegemoment an den Stützstellen M_b(a) und M_b(L-a) betragsgleich dem Biegemoment M_b(L/2) in der Trägermitte.
-
\approx 0{,207107
M_b(a) = M_b(L-a) = M_b(L/2) \quad \Rightarrow \, a/L = \tfrac1{\sqrt{2 - \tfrac12

Normen in der Längenmesstechnik

„In Normen der Längenmesstechnik werden Bessel-Punkte als Auflagepunkte definiert, welche die Längenänderung eines gebogenen Lineals in der Messebene minimieren.“

Literatur

  • Gert-Jan Nijsse: Linear motions systems; a modular approach for improved straightness performance. Delft University Press, Delft 2001, ISBN 90-407-2187-4 (repository.tudelft.nl).
  • R. Reed: A glass reference surface for quality control measurements''. International Journal of Mechanical Sciences 8 (1966), 703–715.

Weblinks

  • Optimale Lagerung (Prof. Peter Will) (PDF; 2,2 MB)
  • Optimale Lagerung (Björnstjerne Zindler) (PDF; 10.682 kB)
  • Bessel-Punkte (Friedrich Geyer), 13. Januar 2015

Einzelnachweise


Kategorie:Statik
Kategorie:Baustatik
Kategorie:Balkentheorie
Kategorie:Friedrich Wilhelm Bessel als Namensgeber
 
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